갈루아 이론

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 10월 25일 (일) 17:03 판
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간단한 소개
  • 군론을 통한 체론(field theory)의 이해
  • 체확장과 갈루아군의 개념이 필요
  • 대수방정식의 해가 가지고 있는 대칭성을 군을 통해 이해하는데서 탄생
  • 대수방정식에서 체확장을 구성하고 그 체확장의 성질을 갈루아군을 통해서 이해하는 것
  • 갈루아이론을 통하여 일반적인 5차이상의 방정식의 해는 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 없음을 증명할 수 있으며, 왜 그것이 불가능한지를 설명할 수 있음

 

 

근의 공식
  • \(ax^2+bx+c=0\)
    \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
  • \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
     

 

 

풀수 있는 방정식
  • 정오각형 항목 중 꼭지점의 평면좌표에는 어떻게 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)을 풀 수 있는지가 설명되어 있음
  • 가우스와 정17각형의 작도 항목에는 왜 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능한지에 대한 설명이 있음.
  • 이를 위하여 \(z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0\)의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있음을 보임.
  • 즉, 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것.

 

 

다항식과 체확장
  • 다항식으로부터 얻어지는 해를 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
  • 다항식 \(x^3-2=0\)
  • 해는 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 세 개가 존재
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\)를 집어넣으면 유리수체의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\) 를 얻음
  • 이 때, 체 \(K\)는 유리수체위에 정의된 벡터공간이 되며, 그 차원은 \([K : \mathbb{Q}]=6\)이 됨

 

 

체확장과 갈루아군
  • 체 \(F\)와 그 체확장 \(K\)에 대하여 군 \(\text{Gal}(K/F)\)을 정의할 수 있음
    • \(\text{Gal}(K/F)\)는 체\(K\)의 자기동형사상 중에서 체\(F\)를 변화시키지 않는 원소들의 모임
  • 복소수체 \(\mathbb{C}\) 는 실수체 \(\mathbb{R}\)의 체확장
    • \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}\) 는 두개의 원소로 구성되어 있으며 항등원과

 

 

방정식의 해가 가진 대칭성
  •  
  • \(\alpha\in\mathbb{\bar{Q}}\) 가 정수계수 방정식 \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\)의 해이면, 갈루아군의 원소 \(\sigma\)에 대하여 \(\sigma(\alpha)\) 도 같은 방정식의 해가 된다.
  •  

 

 

갈루아 체확장
  • transitivity와 fixed point free action 또는 \(\text{Gal}(K/F)=|K:F|\)

 

5차방정식에의 응용

\(f(x)=2x^5-5x^4+5\) is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.

It has two complex and 3 real roots.

This implies the Galois group is \(S_5\).

 

 

 

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