초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)

개요

• \(0,1,\infty\) 세 점에서 정규특이점(regular singular points)을 가지는 이계 선형 미분방정식
• 다음과 같은 미분방정식을 말함

\[z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\]

• 리만구면 상의 세 점에서 정규특이점을 갖는 미분방정식은 초기하미분방정식으로 변형가능
• 19세기에 활발하게 연구
• Fuchsian 미분방정식의 간단하고 중요한 예로 이론의 모델을 제공

급수해

• 프로베니우스 급수해 방법으로 찾을 수 있다 [1]http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_solution_to_the_hypergeometric_equation
• 다음 급수는 초기하 미분방정식의 해이다\[\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n, |z|<1\] 여기서 \((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)\)는 Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호

선형독립인 해

• \(z=0\)에서의 급수해\[_2F_1(a,b;c;z)\]\[z^{1-c}{}_2F_1(b+1-c,a+1-c;2-c;z)\]

쿰머의 24개 해

• 쿰머의 초기하 미분방정식의 24개 해

메모

• http://www.sfb45.de/events/summer-school-on-local-systems
• The grand unified theory of 19th century math

역사

• 수학사 연표

관련된 항목들

• 미분방정식
• 이계 선형 미분방정식
• 초기하급수(Hypergeometric series)와 q-초기하급수
• 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
• Schwarz-Christoffel mappings
• 르장드르 다항식

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNkNhZEU1d1dUMDA/edit

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/hypergeometric_functions
• http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_hypergeometric_identities
• http://en.wikipedia.org/wiki/hypergeometric_differential_equation
• http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_solution_to_the_hypergeometric_equation

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Gert Heckman Tsinghua Lectures on Hypergeometric Functions, 2013
• Frits Beukers, Notes on differential equations and hypergeometric functions, 2009
• Frits Beukers, Hypergeometric functions in one variable, 2008
• Beukers, Frits. 2007. “Gauss’ Hypergeometric Function”. In Arithmetic and Geometry Around Hypergeometric Functions, edited by : Rolf-Peter Holzapfel, A. Muhammed Uludağ and Masaaki Yoshida, 23–42. Progress in Mathematics 260. Birkhäuser Basel. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-7643-8284-1_2.

관련도서

• Conformal Mapping
  • Zeev Nehari, Dover Publications, 1982-1
  • Schwarz_functions_and_hypergeometric_differential_equation.pdf