데데킨트 에타함수

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데데킨트 에타함수

개요

푸앵카레 상반평면에서 정의된 복소함수
무한곱으로 정의되는 모듈라 형식(weight 1/2)
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
\(q=e^{2\pi i\tau}\)
모듈라 성질을 기술하기 위해 데데킨트 합이 필요
자연수의 분할수(integer partitions) 의 연구에 중요한 역할
모듈라 성질은 분할수의 생성함수(오일러 함수)를 이해하는데 중요

모듈라 성질

(정리)
\(\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi i}{12}}\eta(\tau)\)
\(\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})\)
여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택
더 일반적으로, \(ad-bc=1\), \(c>0\)인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다.
\(\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)\)
여기서,
\(\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}\)
\(s(h,k)\)는 데데킨트 합

유리수점(cusp) 근처에서의 변화

(정리)

\(q=e^{-t}\) 으로 두면 \(t\to 0\) 일 때,

\(\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)=1+\sum_{n\geq 1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt\frac{2\pi}{t}\exp(-\frac{\pi^2}{6t})=\sqrt{\frac{2\pi}{t}}\exp(-\frac{(2\pi)^2}{24t})\)

(증명)

분할수의 생성함수(오일러 함수) 에서

\(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\) 이고 \(\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\)

임을 증명하였다. ■

더 일반적으로 \(h,k\)가 서로 소인 자연수일때

\(q=\exp(\frac{2\pi ih}{k})e^{-t}\) 이고 \(t\to 0\) 이면

\(\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}\)

이 성립한다. 여기서 \(s(h,k)\)는 데데킨트 합

세타함수 형태의 표현

오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)
\(\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2}\)
의 양변에 \(q^{1/24}\)를 곱하여, 데데킨트 에타함수의 세타함수 표현을 얻는다
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}\)

초기하급수 형태의 표현

q-초기하급수(q-hypergeometric series)의 오일러 공식
\(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
\(z=-q\)로 두면, 데데킨트 에타함수의 다음과 같은 표현을 얻는다
\(\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)=1+\sum_{n\geq 1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\)

판별식함수

판별식 (discriminant) 함수
에타함수의 24제곱은 weight 12인 cusp 형식이다

\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

special values

\(\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8} \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(\frac{i}{2})=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8} \pi ^{3/4}}\)

데데킨트 에타함수

목차

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

모듈라 성질

유리수점(cusp) 근처에서의 변화

세타함수 형태의 표현

초기하급수 형태의 표현

판별식함수

special values

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