볼록다면체에 대한 데카르트 정리

다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 \(2\pi\).

위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각의 크기.
이를 다 합하면 \(2\pi\)가 됨.
다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름
다면체의 한 점에서의 외각
- \(2\pi\) (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)
- 다음 표를 통해, 그 예를 볼 수 있음.

다면체의 점, 선, 면의 개수를 각각 V,E,F 라고 하자.

각 점에서의 외각의 총합

이제, 를 다면체에 있는 k-각형의 개수라 하자.

k각형의 내각의 합은 이므로, 위의 식은 다음과 같아진다.

여기서 가 성립하는데, 이는 각 변이 두번씩 세어지기 때문이다. 따라서 위의 식은

(오일러의 정리가 사용되었음)

점의 개수를 세지말고, 한 점에 정오각형이 세 개 모여있다는 것을 확인

정오각형의 한 점의 내각의 크기가 \(\frac{3\pi}{5}\)

한 점에서의 외각이 \(\frac{\pi}{5}\) 가 된다는 것을 알수 있음.

데카르트의 정리에 의해 \(4\pi\) 를 이 숫자로 나누면 점의 개수 20을 얻게 됨.

데카르트의 정리는 위상적인 성질을 반영하는 것이기 때문에, 사실은 꼭 정다면체뿐만이 아니라, 축구공과 같은 일반적인 (볼록)다면체에서도 성립함.
축구공의 점의 개수를 세는 데 응용

모든 점이 똑같이 생겼다는 사실을 확인.

한 점에는 정오각형 하나, 정육각형 두개가 만나고 있다는 사실을 재빠르게 간파한 다음,

정오각형 한점 내각 = 108도, 정육각형 한점 내각 = 120도

따라서 축구공 한 점에서의 외각 크기 = 360도 -108도 -120도 -120도 = 12도

데카르트 정리를 이용하여 \(4\pi \div 12\)도 \( = 720 \div 12 = 60\)

그러므로 축구공에는 점이 60개 있음.

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