사인-고든 방정식

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 1월 12일 (목) 04:49 판
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개요
  • 사인-고든 방정식
    \(u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0\)
  • 양자장론에 등장하는 클라인-고든 방정식에서 이름이 붙음
    \((\Box + m^2) \psi =\psi_{tt}-\psi_{xx}+m^2\psi=0\)
  • 다음과 같은 솔리톤 해를 가짐
    • kink
    • anti-kink
    • breather

 

 

오일러-라그랑지 방정식
  • 라그랑지안 \(\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi\)  에 대하여 오일러-라그랑지 방정식
    \(\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0\)   을 적용하여 얻어진다

 

 

방정식의 또다른 형태
  • 변수 \(\xi=\frac{t+x}{2}\), \(\eta=\frac{t-x}{2}\)  를 도입하면, 사인-고든 방정식은
    \(u_{\xi\eta}+\sin u=0\) 로 쓰여진다

 

 

Bäcklund 변환
  • 함수 u가 사인-고든 방정식 \(u_{\xi\eta}+\sin u=0\)의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자
    \(\begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!\)
  • 함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다
  • 해 u=0 에 이 변환을 적용하면, \(v(\xi ,\eta )=4 \tan ^{-1}\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)\) 를 얻을 수 있다

 

 

 

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