사인-고든 방정식

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 2월 14일 (화) 00:43 판
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개요
  • 사인-고든 방정식
    \(u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0\)
  • 양자장론에 등장하는 클라인-고든 방정식에서 이름이 붙음
    \((\Box + m^2) \psi =\psi_{tt}-\psi_{xx}+m^2\psi=0\)
  • 다음과 같은 솔리톤 해들을 가짐
    • kink, antikink
    • kink-kink
    • kink-antikink
    • breather

 

 

오일러-라그랑지 방정식
  • 라그랑지안 \(\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi\)  에 대하여 오일러-라그랑지 방정식
    \(\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0\)   을 적용하여 얻어진다

 

 

Light cone 좌표계
  • 변수 \(\xi=\frac{t+x}{2}\), \(\eta=\frac{-t+x}{2}\)  를 도입하면, 사인-고든 방정식은
    \(u_{\xi\eta}=\sin u\) 로 쓰여진다

 

 

Bäcklund 변환
  • 함수 u가 사인-고든 방정식 \(u_{\xi\eta}=\sin u\)의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자
    \(\begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!\)
  • 함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다
  • 해 u=0 에 이 변환을 적용하면, \(v(\xi ,\eta )=4 \arctan\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)\) 를 얻을 수 있다
    \(a=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}}\) 로 두면, \(4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\)

 

 

traveling wave solution
  • \(u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0\)
  • \(u(x,t)=f(x-vt)\) 라 두자.
  • u 가 사인-고든 방정식의 해가 되려면, f 는 \(v^2f''-f''+\sin f=0\) 를 만족시켜야 한다.
  • 적분하면 다음을 얻는다.
    \(\frac{1}{2}(c^2-1)(f')^2-\cos f=a\)
  • \(z\to \infty\) 일 때, \( f(z)\to 0\) 와  \(f'(z) \to 0\) 인 조건을 만족한다면, a=-1이 된다. 이 경우 다음 미분방정식을 풀면 된다
    \((f')^2=\frac{4}{1-v^2}\sin^2(f/2)\)
  • 이 상미분방정식의 해는
    \(u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\)

 

 

솔리톤 해의 예
  • kink (soliton)
    \(u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\)
  • antikink (anti-soliton)
    \(u(x,t)=4\arctan [\exp -[\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\)
  • kink-kink
    \(u(x,t)=4\arctan [\frac{v\sinh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}{\cosh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}]\)
  • kink-antikink (particle-antiparticle) [PS1962]
    \(u(x,t)=4\arctan [\frac{\sinh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}{v\cosh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}]\)
  • Breather = coupled kink-antikink
    \(4 \arctan \left(\frac{\sqrt{1-\omega ^2} \sin (t \omega )}{\omega \cosh \left(x \sqrt{1-\omega ^2}\right)}\right)\)
    \(\omega=1/{\sqrt{2}}\) 인 경우
    \(4 \arctan \left(\sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \text{sech}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)\)

 

 

히로타 bilinear method

\(u(x,t)=4\arctan [\frac{G}{F}]\)

 

 

역사

 

 

 

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관련논문
  • Classical and quantum kink scattering http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(93)90243-I
  • Hirota, Ryogo. 1977. “Nonlinear Partial Difference Equations III; Discrete Sine-Gordon Equation”. Journal of the Physical Society of Japan 43: 2079-2086. doi:10.1143/JPSJ.43.2079
  • Hirota, Ryogo. 1972. “Exact Solution of the Sine-Gordon Equation for Multiple Collisions of Solitons”. Journal of the Physical Society of Japan 33: 1459-1463. doi:10.1143/JPSJ.33.1459
  • [PS1962]A model unified field equation J. K. Perring and T. H. R. Skyrme, Nuclear Physics Volume 31, March-April 1962, Pages 550-555

 

 

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