삼각함수에는 왜 공식이 많은가?

사인과 코사인은 단위원을 매개화하는 함수
- \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)
단위원은 군의 구조를 가짐. (군론(group theory))
- \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\)
삼각함수의 많은 공식들은 이 단위원이 가진 군의 구조를 통하여 이해할 수 있음
회전변환이 가진 군의 구조로 이해할 수도 있음
비슷한 예로 타원함수 또는 자코비 세타함수의 많은 공식들은 타원곡선이 가지는 군의 구조를 이용하여 이해할 수 있음

삼각함수 항목 참조
\(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\)
\(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\\)

삼각함수의 덧셈공식은 복소지수함수 \(f(x)=e^{ix}=\cos x+ i\sin x\)의 성질 \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\)과 같다
\(e^{i\theta}e^{i\phi}=(\cos \theta+ i\sin \theta)(\cos \phi+i\sin \phi)=(\cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi)+i(\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi )\)
\(e^{i(\theta+\phi)}=\cos (\theta+\phi)+i \sin (\theta+\phi)\)
여기서 양변의 실수부와 허수부를 비교하면, 삼각함수의 덧셈공식을 얻는다
복소지수함수의 성질 \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\) 은 단위원에 군의 구조를 준다
[[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0]] 항목 참조

평면에서 원점을 중심으로 각도 \(\theta \) 만큼의 회전변환은 다음 행렬로 표현된다
\(\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\)
\(\theta_1\)과 \(\theta_2\) 만큼 회전시키는 두 회전변환을 합성하면, \(\theta_1+\theta_2\) 만큼 회전시키는 또다른 회전변환을 하나 얻게 되는데, 이로부터 덧셈공식을 얻을 수 있다
\(\begin{pmatrix}\cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\theta_{1}+\theta_{2}) & -\sin (\theta_{1}+\theta_{2}) \\ \sin (\theta_{1}+\theta_{2}) & \cos (\theta_{1}+\theta_{2}) \end{pmatrix}\)
회전변환이 군의 구조를 갖기 때문에 나타나는 성질이다
단위원과 평면의 회전변환 군은 군론의 입장에서 같다

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