수소 원자의 스펙트럼과 슈뢰딩거 방정식

양성자와 전자로 구성된 시스템
3차원에서의 쿨롱 포텐셜
\(V(r) = -\frac{k e^2}{r}= -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\), \(k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\)
전자의 파동함수가 만족시키는 방정식, 즉 슈뢰딩거 방정식 을 쓰면, 해밀토니안의 고유값에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다
\(E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) + V(x,y,z)\psi_{E}\)
\(E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\psi_{E}\)
보어의 수소원자모형을 수학적으로 설명한다
스핀의 존재는 슈뢰딩거 방정식으로 설명되지 않는다

라플라시안은 다음과 같이 쓸 수 있다
\(\Delta =\Delta_{r}+\frac{1}{r^2}\Delta_{S^2} \) 여기서
\(\Delta_{r}= \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}\)
\(\Delta_{S^2}= \frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\)
구면조화함수(spherical harmonics) 를 사용하자
파동함수의 변수분리 \(\psi_{E}=R(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\) 라 쓰면,
\(\frac{\hbar^2}{2m}[-\Delta_{r}+\frac{l(l+1)}{r^2}]-\frac{ke^2}{r})R(r)=ER(r)\)