열방정식

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 10월 21일 (목) 15:34 판
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개요
  • 열의 전달을 기술하는 편미분방정식
    \(\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0\)
  • 일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현
    \(\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u\)

 

 

유한한 길이의 막대에서의 경계-초기 조건 문제 : 변수분리를 통한 해
  • 경계조건 (양 끝점의 온도는 고정)
    \( t>0\) 일 때, \(u(0,t)=u(L,t)=0\)
  • 초기조건 (\(t=0\)) 에서의 온도분포
    \(u(x,0)=f(x)\)

\(u(x,t)=X(x)T(t)\)로 두자.

\(X''(x)=K_{n}X(x)\)

\(T'(t)=\beta K_{n}T(t)\)

여기서 \(K_{n}=-(\frac{n\pi}{L})^2, \n=1,2,3,\cdots\)

\(u(x,t)=e^{-k n^2 t} e^{ik nx}\) 는 위의 열방정식의 해이다.

 

 

가우시안 Heat kernel
  • 무한한 길이의 막대를 가정 \(-\infty<x<\infty\)
  • 초기조건 (\(t=0\)) 에서의 온도분포
    \(u(x,0)=f(x)\)
  • \(N(\mu,\sigma^2)\) 인 정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다 (정규분포와 그 확률밀도함수)
    \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\)
  • heat kernel
    \(K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \beta t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4\beta t}\right)\)
  • heat kernel 을 이용한 열방정식의 해
    \(u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta t}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4\beta t}\right)\,dy\)
  • 확률론적 이해 \[\beta=1/2\] 인 경우
    \(u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=E[f(X_t)]\)
    여기서 \(X_t\)는 \(N(x,t)\)를 따르는 확률변수

 

 

 

자코비세타함수와 열방정식

\(\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)\)

\(\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)\)

 

 

 

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