자연수의 약수의 합

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 11월 28일 (토) 11:46 판
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개요
  • 자연수 \(n\)에 대하여, 1부터 n까지의 양의 정수 중에 \(n\)의 약수인 수의 합
  • \(\sigma(n)\) 으로 나타냄
    \(\sigma(n)=\sum_{d|n}d\)
  • 더 일반적으로 \(n\)의 약수인 수의 r 거듭제곱의 합
    \(\sigma_r(n)=\sum_{d|n}d^r\)

 

 

성질
  • 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)\)
  • 소수 \(p\) 에 대하여,  \(\sigma(p^{k}) = \frac{p^{k+1}-1}{p-1}\)

 

 

점화식

(정리)

\(k\)가 오각수가 아닌 경우

\(\sigma(k) =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots\)

\(k\)가 오각수 즉 \(k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}\) 꼴로 주어진 경우

\(\sigma(k) + (-1)^{j}k =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots\)

 

  • 오각수가 아닌 예
    • \(\sigma(10)=18\)
    • \(\sigma(9) + \sigma(8)-\sigma(5)-\sigma(3)=13+15-6-4=18\)
    • \(\sigma(20)=42\)
    • \(\sigma(19) + \sigma(18)-\sigma(15)-\sigma(13)+\sigma(8)+\sigma(5)=20+39-24-14+15+6=42\)
  • 오각수인 예
    • \(\sigma(5)+5=6+5=11\)
    • \(\sigma(4) + \sigma(3)=7+4=11\)
    • \(\sigma(12)-12=28-12=16\)
    • \(\sigma(11) + \sigma(10)-\sigma(7)-\sigma(5)=12+18-8-6=16\)

 

  • 분할수의 점화식과의 유사성
    \(p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\)

 

100까지 자연수의 약수의 합 목록
  • \(n\)과 \(\sigma(n)\)의 값

1    1
2    3
3    4
4    7
5    6
6    12
7    8
8    15
9    13
10    18
11    12
12    28
13    14
14    24
15    24
16    31
17    18
18    39
19    20
20    42
21    32
22    36
23    24
24    60
25    31
26    42
27    40
28    56
29    30
30    72
31    32
32    63
33    48
34    54
35    48
36    91
37    38
38    60
39    56
40    90
41    42
42    96
43    44
44    84
45    78
46    72
47    48
48    124
49    57
50    93
51    72
52    98
53    54
54    120
55    72
56    120
57    80
58    90
59    60
60    168
61    62
62    96
63    104
64    127
65    84
66    144
67    68
68    126
69    96
70    144
71    72
72    195
73    74
74    114
75    124
76    140
77    96
78    168
79    80
80    186
81    121
82    126
83    84
84    224
85    108
86    132
87    120
88    180
89    90
90    234
91    112
92    168
93    128
94    144
95    120
96    252
97    98
98    171
99    156
100    217

 

 

 

 

 

 

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