자연수의 약수의 합
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개요
- 자연수 \(n\)에 대하여, 1부터 n까지의 양의 정수 중에 \(n\)의 약수인 수의 합
- \(\sigma(n)\) 으로 나타냄
\(\sigma(n)=\sum_{d|n}d\) - 더 일반적으로 \(n\)의 약수인 수의 \(r\)거듭제곱의 합도 정의 됨
\(\sigma_r(n)=\sum_{d|n}d^r\) - 곱셈에 대하여 좋은 성질을 가짐
- 분할수에 대한 연구에서 자연스럽게 등장함
- 모듈라 형식(modular forms)인 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)의 계수로 나타남
성질
- 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)\)
- 소수 \(p\) 에 대하여, \(\sigma(p^{k}) = \frac{p^{k+1}-1}{p-1}\)
점화식
(정리)
\(\sigma(k)\)은 다음 공식을 만족한다.
\(k\)가 오각수가 아닌 경우
\(\sigma(k) =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots\)
\(k\)가 오각수 즉 \(k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}\) 꼴로 주어진 경우
\(\sigma(k) + (-1)^{j}k =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots\)
(증명)
생성함수를 다음과 같이 두자.
\(A(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n\)
오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)의 증명과정에서 얻어진 다음 등식을 활용하자.
\(f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}}\right) \left(1 - x^{3m-2}}\right)\)
위의 우변에 로그미분을 취한 다음 \(-x\)를 곱하면,
\(-x\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{3mx^{3m}}{1-x^{3m}}+\frac{(3m-1)x^{3m-1}}{1-x^{3m-1}}+\frac{(3m-2)x^{3m-2}}{1-x^{3m-2}}=A(x)\)
따라서
\(A(x)f(x)=-xf'(x)\)를 얻는다.
\(A(x)f(x)=(\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n)(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)\) 이므로
\(x^k\)의 계수는 \(\sigma(k)-(\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots)\) 로 주어진다.
한편,
\(-xf'(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^{k+1}\frac{k(3k-1)}{2}x^{k(3k-1)/2}\) ■
- 오각수가 아닌 경우의 예
- \(\sigma(10)=18\)
- \(\sigma(9) + \sigma(8)-\sigma(5)-\sigma(3)=13+15-6-4=18\)
- \(\sigma(20)=42\)
- \(\sigma(19) + \sigma(18)-\sigma(15)-\sigma(13)+\sigma(8)+\sigma(5)=20+39-24-14+15+6=42\)
- 오각수인 경우의 예
- \(\sigma(5)+5=6+5=11\)
- \(\sigma(4) + \sigma(3)=7+4=11\)
- \(\sigma(12)-12=28-12=16\)
- \(\sigma(11) + \sigma(10)-\sigma(7)-\sigma(5)=12+18-8-6=16\)
- 분할수의 점화식과의 유사성을 눈여겨볼 것
\(p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\)
100까지 자연수의 약수의 합 목록
- \(n\)과 \(\sigma(n)\)의 값
1 1
2 3
3 4
4 7
5 6
6 12
7 8
8 15
9 13
10 18
11 12
12 28
13 14
14 24
15 24
16 31
17 18
18 39
19 20
20 42
21 32
22 36
23 24
24 60
25 31
26 42
27 40
28 56
29 30
30 72
31 32
32 63
33 48
34 54
35 48
36 91
37 38
38 60
39 56
40 90
41 42
42 96
43 44
44 84
45 78
46 72
47 48
48 124
49 57
50 93
51 72
52 98
53 54
54 120
55 72
56 120
57 80
58 90
59 60
60 168
61 62
62 96
63 104
64 127
65 84
66 144
67 68
68 126
69 96
70 144
71 72
72 195
73 74
74 114
75 124
76 140
77 96
78 168
79 80
80 186
81 121
82 126
83 84
84 224
85 108
86 132
87 120
88 180
89 90
90 234
91 112
92 168
93 128
94 144
95 120
96 252
97 98
98 171
99 156
100 217
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Recurrences for the Sum of Divisors
- John A. Ewell, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 64, No. 2 (Jun., 1977), pp. 214-218
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://dx.doi.org/
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