자코비의 네 제곱수 정리

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 11월 28일 (토) 17:16 판
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개요
  • 라그랑지의 네 제곱수 정리는 모든 자연수는 네 개의 제곱수의 합으로 표현가능함을 말해준다
  • 자코비는 세타함수 를 이용하여 주어진 자연수가  네 개의 제곱수의 합으로 얼마나 많은 방법으로 표현가능한지의 문제를 해결
    \(\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}\), \(q=e^{2\pi i \tau}\)
  • \(x=e^{\pi i \tau}\) 로 두면,
    \(\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}\)
    \(\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\)
    여기서 \(r_4(n)\) 는 \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n\)의 정수해 \((x_1,x_2,x_3,x_4)\)의 개수, 즉 자연수 \(n\)을 네 정수의 제곱의 합으로 쓰는 방법의 수

 

 

정리

(정리) 자코비의 네제곱수 정리

\(r_4(n)=8\sum_{m|n,4\nmid m}m\)

 

 

예
  • \(r_4(1)=8\)
    \((\pm1)^2+0^2+0^2+0^2=1\)이므로 
    \(2\times {4\choose 1}=8\)
  • \(r_4(2)=24\)
    \((\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2+0^2=2\)
    ... 으로부터
    \(4\times {4\choose 2}=24\)
  • \(r_4(3)=32\)
    \((\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2=3\)
     
    ... 으로부터
    \(8\times {4\choose 1}=32\)

 

  • \(r_4(4)=24\)
    \((\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2=(\pm2)^2+0^2+0^2+0^2=4\)
    ... 으로부터
    \(16+2 \times {4\choose 1}=24\)

 

 

증명

\(\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\)

\(A(q)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mq^m}{1-q^m}=\sum_{m=1}^{\infty}{mq^m}{1+q^m+q^{2m}+\cdots}=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)q^n=\)

 

 

 

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