정다각형의 대각선의 길이

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 12월 23일 (목) 09:28 판
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개요
  • 한 변의 길이가 1인 정n각형의 대각선의 길이는 다음과 같이 주어짐
    \(r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}}\) , \(i=0,1,\cdots,n-2\)
    여기서 \(r_0=1\), \(r_{n-2}=1\)
  • 그림은 정칠각형 의 경우
    [/pages/6782509/attachments/4290397 heptagon.png]
  • 대각선이 만족시키는 항등식 1
    \(r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}\), \(0\leq k\leq h<n/2\).  우변은 k+1개항의 합.
    \(r_0r_0=r_0\)
    \(r_1r_0=r_1\)
    \(r_1r_1=r_0+r_2\)
    \(r_2r_0=r_2\)
    \(r_2r_1=r_1+r_3\)
    \(r_2r_2=r_0+r_2+r_4\)
    \(r_3r_0=r_3\)
    \(r_3r_1=r_2+r_4\)
    \(r_3r_2=r_1+r_3+r_5\)
    \(r_3r_3=r_0+r_2+r_4+r_6\)

(증명)

삼각함수의 덧셈과 곱셈 공식 을 이용하자.

\(\sin{x} \sin{y} = -{\cos(x + y) - \cos(x - y) \over 2}\)

\(\sin \frac{(h+1)\pi}{n}\sin \frac{(k+1)\pi}{n}=\sum_{j=0}^{k}\sin \frac{(h-k+2j+1)\pi}{n}\sin \frac{\pi}{n}\)

\(r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}\) ■

  • 대각선이 만족시키는 항등식 2
    \(r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq n-3\)

 

 

 

 

 

정사각형의 대각선

 

 

정오각형의 대각선
  • 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.

[/pages/3002548/attachments/1344232 180px-Ptolemy_Pentagon.svg.png]

 

\({b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\)

 

 

 

 

정칠각형의 대각선

 

 

 

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