중심이항계수 (central binomial coefficient)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 6월 18일 (금) 11:30 판
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개요
  • 다음과 같은 이항계수로 정의
    \({2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\)

 

 

급수와 중심이항계수
  • 이항급수와 이항정리
    \(\frac{1}{\sqrt{1-4z}}=\sum_{n=0}^{\infty} {{2n}\choose {n}} z^n\)
  • 역삼각함수
    \(2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\)
    \(\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}\)
  • 카탈란 수열(Catalan numbers) 의 생성함수
    \(G(x)= \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}{2n\choose n}x^n\)
     

 

 

 

리만제타함수

\(\zeta(2)=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}\)

\(\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}\)

\(\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\)

 

 

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관련논문
  • On the series Σk = 1∞(k2k)−1 k−n and related sums
    • I. J. Zucker, Journal of Number Theory, Volume 20, Issue 1, February 1985, Pages 92-102   
  • Some wonderful formulas ... an introduction to polylogarithms
    • A.J. Van der Poorten, Queen's papers in Pure and Applied Mathematics, 54 (1979), 269-286

 

 

관련도서

 

 

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