중심이항계수가 등장하는 어떤 급수에 대한 문제

\({2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\)

꼴의 이항계수를 말한다.

\(c_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!}\)

으로 주어지는데, 중심이항계수가 등장함을 볼 수 있다.

Lehmer는 아래에 링크되어 있는 'Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient'[Lehmer1985] 를 통하여 중심이항계수가 등장하는 다양한 급수를 소개한 바 있다.

그 중 몇가지는 다음과 같다.

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}\)

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}\)

이들은 다음과 역삼각함수의 멱급수표현에 몇가지 다른 것을 더하여 유도가 가능한다.

\(2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\)

이 글에서 Lehmer는 중심이항계수와 함께 원주율(파이,π)가 등장하는 다음과 같은 식들을 소개한다.

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{2}+1\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\pi+3\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{7\pi}{2}+11\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{35\pi}{2}+55\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{5} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{1787\pi}{2}+2807\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{6} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{16717\pi}{2}+26259\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067\)

그리고 일반적으로 자연수 \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여,

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b\) , (a와 b는 유리수)

가 성립하며, b/a는 원주율(파이,π) 의 유리수 근사라는 것을 언급한다.

355/113이 원주율(파이,π) 의 근사이므로, 355의 두 배에 매우 가까울 것임을 생각할 수 있고, 실제로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355=709.9999698556466359462787\cdots\)

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