치환적분과 변수분리형 미분방정식

http://bomber0.byus.net/index.php/2009/07/11/1386

미분방정식 풀때, 변수분리

 

\(\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}\)

\({g(y)}{dy}={f(x)}{dx}\)

\(\int {g(y)}{dy}=\int {f(x)}{dx}\)

 

적분한뒤, y를 x의 함수로 쓴다.

 

이렇게 해도 되는것임? 하는 것이 질문이다.

 

그런데 사실 이것이 처음이 아니다. 아마 내 기억에는 수학의정석에서도 치환적분에서 이런 표현을 쓰지 않았나 생각이 든다.

 

\(\int \sin^2x \cos x\,dx\) 

 

\(y=\sin x \)

\(dy=\cos x\,dx\)

\(\int \sin^2x \cos x\,dx=\int y^2 dy=\frac{1}{3}y^3+C=\frac{1}{3}\sin^3 x+C\)

 

 

\(y\)가 \(x\)의 함수라면 치환적분의 공식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(\int {g(y)}{dy}=\int{g(y(x))}y'(x)dx\)

 

 

\(\int {g(y)}{dy}=\int {f(x)}{dx}\)

\(\int {g(y)}{dy}=\int{g(y(x))}y'(x)dx\)

\(G(y)+c=\int {g(y)}{dy}=\int{g(y(x))}y'(x)dx\)

 

 

\(y\)가 \(x\)의 함수일때, 

\(y'(x)=\frac{dy}{dx}\)

\(dy=y'(x)dx\)

라는 형식적인 표현을 받아들이자. 

 

그러면 치환적분을 할때, 위와 같은 방식의 표현을 사용해도 괜찮다. 

 

 

미분형식에는 적분기호를 씌울수 있다.