타원 모듈라 λ-함수

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타원 모듈라 λ-함수

개요

\(\lambda(\tau)=k^2(\tau)\) 는 타원적분의 modulus라고 불리며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
- \(k(\tau)\)에 대해서는 타원적분의 singular value k 참조
가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 \(j\)-불변량(타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant))에 그 자리를 내줌
level 2 인 congruence 모듈라 군(modular group) \(\Gamma(2)\)에 대한 모듈라 함수가 됨
\(\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}\)

세타함수와의 관계

자코비 세타함수
자코비 세타함수\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)
\(\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}\)

바이어슈트라스 타원함수와의 관계

바이어슈트라스의 타원함수
바이어슈트라스 타원함수 ℘\(\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\)
\(\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}\) 로 두면, \(\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}\)
여기서
\(e_1=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)\)
\(e_2=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\)
\(e_3=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\)
\(e_1,e_2,e_3,\infty\) 네 점의 교차비로 이해할 수 있음
사영기하학과 교차비 항목 참조
\(z_4=\infty\) 인 경우
\((z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}\)

모듈라군에 의한 변환

모듈라 군(modular group)에 의한 변환
생성원
\(S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \), \(T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
\(T: \tau \to \tau+1\)에 의한 변화
\(\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \omega_1+\omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix}\)
\(e_1'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1\)
\(e_2'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3\)
\(e_3'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2\)
\(\lambda(\tau+1)=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}\)
\(S: \tau \to -\frac{1}{\tau}\)에 의한 변화
\(\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}\)
\(e_1'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2\)
\(e_2'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1\)
\(e_3'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3\)
\(\lambda(-\frac{1}{\tau})=\frac{e_3-e_1}{e_2-e_1}=1-\lambda(\tau)\)
따라서 모듈라 군(modular group)에 의해, 다음과 같은 값을 취할 수 있게 된다
교차비
\( \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}}, 1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}\)
이러한 표현은 사영기하학과 교차비에서 등장함
\(\Gamma/\Gamma(2)\)

타원 모듈라 j-함수와의 관계

타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)

\(J(\tau)=\frac{4}{27}\frac{(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2(1-\lambda)^2}\)

(증명)

다음과 같은 함수를 생각하자.

\((\lambda(\tau)+1)( {1\over\lambda(\tau)}+1)({1\over{1-\lambda(\tau)}}+1)( 1-\lambda(\tau)+1)( {\lambda(\tau)\over{\lambda(\tau)-1}}+1)( {{\lambda(\tau)-1}\over\lambda(\tau)})\)

모듈라군에 의한 변환에서 얻은 결과로 이 함수는 모듈라 군(modular group)에 의하여 불변임을 알 수 있다.

special values

\(\lambda(i\infty)=0\)

\(\lambda(0)=1\)

\(\lambda(1)=\infty\)

\(\lambda(\sqrt{-1})=\frac{1}{2}\)

\(\lambda(\frac {-1+\sqrt{-3}}{2}), \lambda(\frac {1+\sqrt{-3}}{2})\) 는 \(1-\lambda+\lambda^2=0\) 의 두 해

타원 모듈라 λ-함수

목차

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

세타함수와의 관계

바이어슈트라스 타원함수와의 관계

모듈라군에 의한 변환

타원 모듈라 j-함수와의 관계

special values

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