파이 π는 초월수이다

증명의 개요

• 린데만-바이어슈트라스 정리 를 써서 증명 가능

 

 

증명

먼저 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수임을 증명하자.

\(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하면면  린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\) 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서 \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다.

이제 \(\pi\)가 초월수임을 증명하자. 

 \(\pi\)가 만약 대수적수라면, \(2\pi i\) 도 대수적수이다. 따라서 \(e^{2\pi i} =1\) 은 초월수이다. 그러나 1은 대수적수이므로 모순■