포드 원 (Ford Circles)

수학노트
Wiessen (토론 | 기여)님의 2009년 8월 17일 (월) 20:07 판 (애기똥풀님이 이 페이지에 fig1.jpg 파일을 등록하셨습니다.)
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간단한 소개

[[Media:|]]

  • \(p,q\)가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 \((\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})\) 이고, 반지름이 \(\frac{1}{2q^2}\)인 원을 포드 원이라 함
    • \(y=0\)에 접함

 

 

관찰

위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 \(x\) 좌표이다.)

 

  • \(p,q\)가 서로소인 자연수들이니까, 원 중심의 \(x\) 좌표들은 기약분수들이 되겠다.
  • 서로 겹치는 두 Ford circle 은 없는 듯 하다.
  • 접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?
    • \(\frac35 , \frac23\)      \(\frac35 , \frac58\)      \(\frac58, \frac23\)      \(\frac58, \frac{7}{11}\)   ...
    • \(10-9 = 25-24 = 16 - 15 = 56 - 55 = \cdots = 1\)
  • 서로 접하는 세 포드 원 사이에는?
    • \(\frac35, \frac58 , \frac23\)      \(\frac35, \frac{8}{13} , \frac58\)      \(\frac58, \frac{7}{11} , \frac23\)      \(\frac47, \frac{7}{12} , \frac35\)
    • 뭔가 발견했는가?
  • 이제 Farey series 를 읽고 다시 돌아오자. (오른쪽 클릭 - 새 탭 열기/새 창 열기)

 

 

 

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