프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 11월 1일 (목) 06:17 판 (찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로)
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==개요

  • density 정리란 prime ideal (또는 주어진 다항식 mod p) 의 분해와  프로베니우스 원소(혹은 아틴 심볼)의 cycle 구조와의 관계와 그 비율에 관한 정리.
  • 갈루아 체확장 L/K 

 

 

==프로베니우스의 밀도 정리

  • prime ideal과 cycle type의 관계
  • The set of primes p modulo which a monic integral, irreducible polynomial f has a given decomposition type \(n_1,n_2,\cdots,n_r\) has density equal to N/O(Gal(f)) where
    \(N =|\{a \in \operatorname{Gal}(f) : \sigma\text{ has a cycle pattern } n_l,n_2,\cdots,n_r\}|.\)

 

 

==체보타레프의 밀도 정리

  • prime ideal과 conjugacy class의 관계
    • 프로베니우스의 정리보다 더 강력함
    • There are cases where cycle types are same but the conjugacy classes are different
  • (정리) 체보타레프

\(f(x)\in\mathbb{Z}[x]\) 는 갈루아군이 G인 기약다항식이라 하자.

Let C be a fixed conjugacy class of elements of G. Let S be the set of primes p whose Artin symbol \(\sigma_{p}\) equals C.

Then S has a density, and \(\delta(S)=\frac{|C|}{|G|}\)

 

 

 

==밀도 정리를 통한 디리클레 정리의 유도

\(\zeta_n\)는 primitive n-단위근이고 \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)라 하자.

\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자. 

소수 p에 대한 아틴 심볼은  \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시키는 \(\sigma_p \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)\) 로 정의된다.

p의 분해는 아틴 심볼의 cycle 구조를 통해서 알 수 있다.

한편 \(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다.

따라서 체보타레프 정리에 의해 디리클레 정리가 증명된다.

 

 

==메모

 

 

==역사

  • 1880 프로베니우스의 밀도 정리
  • 1922 체보타레프의 밀도 정리
  • 1927 아틴 상호 법칙
  • 수학사연표

 

 

 

==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

 

==관련된 대학원 과목

 

 

==관련된 항목들

 

 

 

==관련도서

 

 

==위키링크

 

 

==관련논문

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