보존과 임계성 - 랑제방 접근

앞 글에서 말한 무노즈 그룹의 논문(arXiv:0905.1799v2)에 나오는 내용을 좀더 자세히 소개하려 합니다. 큰 그림을 먼저 그려보면, 방향성 있는 스미기 보편성 분류(DP class)에 보존장이 추가되면 보존되는 방향성 있는 스미기 보편성 분류(C-DP class)로 임계점의 성질이 바뀌고, 여기에 에너지 흩어지기와 이 손실을 보충해주는 에너지 주입이 도입되면 동역학적 스미기 보편성 분류(dynamical percolation class; 제 편의상 dynP로 쓰겠습니다)로 다시 한 번 성질이 바뀐다는 겁니다. 즉 DP + [보존장] → C-DP + [손실/주입] → dynP 입니다.

DP에 관한 랑제방 방정식은 아래 미분방정식으로 기술합니다. ρ(x, t)는 시각 t에서 위치 x의 활성(activity)을 뜻하며, 활성장(activity field)으로 부르겠습니다.

\(\partial_t\rho(\vec x,t)=a\rho-b\rho^2+D\nabla^2\rho +\sigma\sqrt{\rho}\eta(\vec x,t)\)

a, b는 조절변수, D는 확산계수, η는 하얀 노이즈입니다. 각 위치에서 활성은 a, b에 의존해 반응하여 변하며 또한 활성이 주변으로 확산되는 반응/확산에 관한 방정식으로 이해하면 됩니다.

여기에 보존되는 배경 에너지(보존장; conserved field)가 깔리면 이는 활성에 영향을 주기도 합니다. 바짝 마른 나뭇잎들이 많이 깔려 있는 곳이 그렇지 않은 곳보다 불이 더 잘 붙고 더 잘 주변으로 옮겨지는 걸 생각하면 됩니다. 

\(\partial_t\rho(\vec x,t)&=&a\rho-b\rho^2+w\rho E+D\nabla^2\rho +\sigma\sqrt{\rho}\eta(\vec x,t)\\ \partial_t E(\vec x,t)&=&D_E\nabla^2\rho(\vec x,t)\)

보존장 E와 활성장 ρ가 곱해진 항이 활성장의 방정식에 추가된 게 보이시죠? E는 활성장

\(E(\vec x,t)=E(\vec x,0)+D_E\int_0^t dt'\nabla^2\rho(\vec x,t')\)

 

\(\partial_t E(\vec x,t)=D_E\nabla^2\rho(\vec x,t)-\epsilon\rho(\vec x,t)\)