보존되지 않는 자기조직화 임계성 모형
에너지가 보존되지 않는 시스템에서 임계성이 나타나는가라는 문제에 관해 재작년에 두 개의 글을 쓴 적이 있습니다.
모래쌓기 모형과 지진 모형의 차이(2007. 4. 5.)
그해 6월에는 명쾌한 결론이 나지 않은 이 문제에 대해 여러 논문을 찾아 공부한 결과를 정리하여 세미나에서 발표하기도 했습니다. 그런데 제 블로그에서도 여러 번 언급했던 미겔 무노즈(Miguel A. Munoz) 그룹에서 이 문제에 관한 준 리뷰급 논문을 올 봄에 냈습니다. 아직 저널에 게재된 건 아니고 아카이브에 올라온 걸 보실 수 있습니다: arXiv:0905.1799v2. 제가 재작년 공부하면서 봤던 논문들이 정리되어 있어서 비교적 쉽게 읽어내려갈 수 있었습니다.
이 논문의 논점을 이해하려면 꼭 봐야할 논문이 하나 더 생겼는데요, 지금 이 글에서 소개하려고 합니다. 프루스너와 젠센(줄여서 PJ로 부를게요.)이 2002년 <유로피직스 레터스(EPL)>에 낸 건데요, "A solvable non-conservative model of Self-Organised Criticality"라는 제목입니다. 이전 글들에서 옌센은 비보존 시스템에서도 SOC가 보인다는 주장을 한 그룹에 속했다는 걸 염두에 두어야겠습니다.
무노즈가 논문에서 말한대로 PJ 모형은 지진 모형(earthquake model)과 숲불 모형(forest-fire model; FFM)의 중간쯤에 있습니다. 모형을 보죠. N개의 자리가 있고 각 자리는 n개의 이웃과 연결되어 있습니다. 보존 변수는 α라고 합니다. 각 자리 i에는 에너지 zi라는 값을 갖습니다. 이 값에 따라 각 자리는 '안정(stable)', '불안정(susceptible)', '활성(active)' 상태로 나뉩니다.
에너지들은 0 이상 1 미만의 랜덤한 값으로 초기화됩니다. 그리고 몰기(driving), 방아쇠 당기기(triggering), 풀기(relaxing)의 과정을 거칩니다.
- 몰기: 1/θ개의 자리를 랜덤하게 골라서 각 자리가 안정하면 그 자리의 에너지를 1-α로 높여서 불안정하게 합니다. 안정하지 않다면 내비둡니다.
- 방아쇠 당기기: 1개의 자리를 랜덤하게 골라서 불안정하면 그 에너지를 1로 높여서 활동 상태로 만듭니다. 안정하다면 '몰기'를 다시 해줍니다. (불안정한 자리가 선택될 때까지 '몰기'를 되풀이합니다.)
- 풀기: 활동 상태인 자리의 에너지(zi)는 이 자리의 이웃들에게 각각 αzi만큼 전달되고 나머지 에너지는 흩어져서 사라집니다. 결과적으로 활동 상태인 자리의 에너지는 0이 됩니다.
활동 자리는