이징 모형의 범함수 적분 형태

예전에 통계장론에 나오는 란다우-긴즈버그 모형을 소개한 적이 있습니다. 그때는 그냥 그런 항들이 필요하다... 정도로만 썼고 그에 대한 논의는 차원분석에 관한 글에서 한 적이 있지요. 오늘은 아미트(D.J. Amit)의 <장론, 되틀맞춤무리, 임계현상(Field Theory, the Renormalization Group and Critical Phenomena)>이라는 책을 참고하여 이징 모형(Ising model)에서 바로 란다우-긴즈버그 모형의 범함수 적분(functional integral) 형태를 유도하는 걸 써보려고 합니다.

이징 모형에서 시작합시다. 스핀들의 상태를 {s_i}라고 하면 에너지는 다음과 같습니다.

\(E\{s_i\}=-\sum_{i,j}J_{ij}s_is_j-\sum_ih_is_i\) 

그럼 분배함수는 다음처럼 씌어집니다.

\(Z\{H_i\}=\sum_{\{s_i\}}\exp[-\beta E\{s_i\}]=\sum_{\{s_i\}}\exp\left[K_{ij}s_is_j+\sum_iH_is_i\right]\) 

J, h들에 β를 곱한 걸 각각 K, H로 다시 썼습니다. 이제 다음처럼 씌어지는 가우스 변환을 이 분배함수에 적용합니다.