힐베르트 부호

정의

• K : local field

\[(a,b)=\begin{cases}1,&\mbox{ if }z^2=ax^2+by^2\mbox{ has a non-zero solution }(x,y,z)\in K^3;\\-1,&\mbox{ if not.}\end{cases}\]

유리수 체에서의 힐베르트 부호

• $p=\infty$ 일 때,

\[(a,b)_{\infty}= \begin{cases} 1,&\mbox{ if }a>0 \mbox{ or } b>0 \\ -1,& \mbox{ if }a<0 \mbox{ and } b<0 \end{cases} \]

• 홀수인 소수 p에 대하여, \(a = p^{\alpha} u\) and \(b = p^{\beta} v\)이면

\[(a,b)_p = (-1)^{\alpha\beta\epsilon(p)} \left(\frac{u}{p}\right)^\beta \left(\frac{v}{p}\right)^\alpha\] 여기서 \(\epsilon(p) = (p-1)/2\)

• $p=2$일 경우, \(a = 2^\alpha u\), \(b = 2^\beta v\)라 두면

\[(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)}\] 여기서 \(\omega(x) = (x^2-1)/8\).

• 상호법칙

\[\prod_v (a,b)_v = 1\]