엡슈타인 제타함수

개요

Epstein 제타함수\[E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}\] , \(\tau = x + iy\) (\(y > 0\))

크로네커 극한 공식\[E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)\]\[\gamma\] 는 오일러상수, 감마\[\eta(\tau)\]는 데데킨트 에타함수
라마누잔의 class invariants를 계산하는데 사용가능하며, 왜 실수이차체의 unit 이 등장하는지를 설명해줌

이차형식과 제타함수

이차형식\[|m\tau+n|^{2}=\]

양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2\) (즉\(a>0\),\(\Delta=b^2-4ac<0\)) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의\[\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}\]

\(\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\) 인 경우 ( \(-\Delta=|\Delta|\) )\[E(\tau,s)=(\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2})^s \zeta_Q(s)\]\[\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)\]
크로네커 극한 공식을 적용하면, \[\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2))+O(s-1)\]\[=(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|}))- \frac{2\cdot 2\pi}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}+O(s-1)\]
여기서 \[\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\], \(y = {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\)

(따름정리)

판별식이 같은 즉 \(m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2\) 인 두 양의정부호 이차형식 \(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와 \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\) 에 대하여,

\(\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\} =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\}\)이 성립한다.

여기서

\(\tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}\), \(\omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}\)

라마누잔 class invariants 와의 관계

\(Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2\)와 \(Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2\), \(m=2ac\)에 대하여 위의 따름정리를 적용하면,

\(\tau=i\sqrt\frac{2c}{a}\), \(\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}\)

\(\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}\)

여기서 \[g_n:=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}\]\[\tau=i\sqrt{n}=i\sqrt{\frac{2c}{a}}\] 인 경우
라마누잔의 class invariants 참조

엡슈타인 제타함수

목차

개요

이차형식과 제타함수

라마누잔 class invariants 와의 관계

역사

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