판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)

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타원곡선의 discriminant

  • \(\tau\in \mathbb H\) 에 대응되는 타원곡선 \(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)\) 의 판별식은 다음과 주어짐.\[F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)\]
  • 정의에 따라 \(F\)는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.
  • 또한 cusp 형식이 됨.\[g_2(i\infty)=\frac{4\pi^4}{3}\], \(g_3(i\infty)=\frac{8\pi^6}{27}\) 이므로,\[F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0\]

 

 

정의

  • \(\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots\) 를 discriminant 함수의 정의로 함.
  • \(\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\) 로 표현가능

 

 

모듈라 성질

  • 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨\[\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\]

 

 

무한곱 표현과 데데킨트 에타함수

  • 데데킨트 에타함수\[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\]
    의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,\[\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\]

 

라마누잔의 타우 함수

  • discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,\[\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\]

 

 

라마누잔의 추측

  • \(|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}\)
  • 1974년 Deligne이 Weil추측을 증명함으로써 해결됨

 

 

Lehmer의 추측

 

 

메모

  • Hecke’s theory of Hecke operators
  • Serre’s theory of modular l-adic Galois representations
  • Ramanujan-Petersson Conjectures

 

 

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계산 리소스

 

 

사전 형태의 자료

 

 

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