클라인-고든 방정식

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클라인-고든 방정식

개요

슈뢰딩거 방정식 의 상대론적 일반화의 시도로부터 얻어짐
스핀-0 입자의 스칼라 장에 대한 방정식
- real
- complex - charged spin zero particles
특수 상대성 이론의 관계식 $E^2=p^2+m^2$ 로부터 얻을 수 있다
$\Box + m^2=\frac{\partial^2}{\partial t^2 } - \nabla^2 +m^2$
$(\Box + m^2) \varphi = 0$
- $(\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}+m^2\varphi=0$
- $(\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}-\varphi_{yy}-\varphi_{zz}+m^2\varphi=0$

오일러-라그랑지 방정식

라그랑지안 $\mathcal{L}(\varphi) = \frac{1}{2}\{\partial_{\mu}\partial^{\mu}\varphi - m^2\varphi^2\}$ 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식\[\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \varphi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} = 0\] 을 적용하여 얻어진다

free particle solution

$\varphi(t,\vec{x})=Ae^{-i(E t-\vec{p}\cdot \vec{x})}$ 이 해가 되려면 $E^2=m^2+\vec{P}^2$ 을 만족해야 한다

푸리에 급수해

wave number k 에 대하여, $E=k_0=\omega_k$, $\vec{p}=\vec{k}$ 로 두자
real 스칼라 장에 대한 클라인-고든 방정식의 일반적인 푸리에 급수해는 다음과 같이 주어진다

\[\varphi(x)=\int\frac{d^3 \vec{k}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{k}}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}+a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]\]

- 양자화 이후에 $a(\vec{k})$는 annihilation operator, $a^{\dagger}(\vec{k})$는 creation operator 로 불린다
conjugate momentum

\[\pi(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_{0} \varphi )} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} \] $$\pi(x)=\partial_{0}\varphi(x)=-i\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}}\sqrt{\frac{\omega_{k}}{2}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}-a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}] $$

양자화

equal time commutation relations
$[\hat \varphi(x),\hat{\pi}(y)] =i\delta(\vec{x}-\vec{y})$
$[\hat \varphi(x),\hat{\varphi}(y)] =0$
$[\hat \pi(x),\hat{\pi}(y)] =0$

역사

클라인-고든 방정식의 해를 양자역학에서의 상대론적 파동함수로 해석할 때의 두 가지 문제점
- negative energy states 의 존재
- negative probability density
파동함수가 아닌 장 방정식으로 해석할 때 문제점이 사라진다
http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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