오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)

개요

오일러의 오각수정리

\[\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}\]\[(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots\]

세타함수의 무한곱표현의 일종으로 이해할 수 있음(자코비 세타함수의 삼중곱 공식 참조)
\[\sum _{m=-\infty }^{\infty } (-1)^mq^{\frac{3}{2}m^2\pm \frac{1}{2}m} = \prod _{n=1}^{\infty } \left(1-q^{3 n}\right)\left(1-q^{3n-2}\right)\left(1-q^{3n-1}\right)\]
자연수의 분할수(integer partitions)$p(n)$의 생성함수의 역이다

\[\sum_{n=0}^\infty p(n)x^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-x^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)^{-1} \]

오각수

수열 1, 5, 12, 22, 35,...
일반항은 $n(3n-1)/2$

일반화된 오각수

$(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots$에 등장하는 수
$k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}$ 꼴로 주어짐 ($j=1,2,3\cdots$)

증명

자코비 세타함수의 삼중곱표현의 특수한 경우로 얻어진다
삼중곱에 대해서는 자코비 세타함수 항목 참조

(증명)

$\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}$

$q=x^{3/2}$, $z=-x^{1/2}$로 두면, 다음을 얻는다 $$\operatorname{(LHS)}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left( 1 - x^{1/2}x^{3m-3/2}\right) \left(1 - x^{-1/2}x^{3m-3/2}\right)=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}\right) \left(1 - x^{3m-2}\right) = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n) $$

$\operatorname{(RHS)}=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}$■

데데킨트 에타함수

위의 급수에 $q^{1/24}$를 곱하면, 데데킨트 에타함수의 세타함수 표현을 얻는다
\[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}\]
여기서 $q=e^{2\pi i\tau}$.
데데킨트 에타함수는 모듈라 성질을 가진다

역사

수학사 연표

사전 형태의 자료

매스매티카 파일 및 계산 리소스

리뷰논문, 에세이, 강의노트

Jordan Bell Euler and the pentagonal number theorem, arXiv.org, 2005
George E. Andrews Euler's Pentagonal Number Theorem, Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 279-284