수소 원자의 스펙트럼과 슈뢰딩거 방정식

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 8월 20일 (화) 07:24 판
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개요

  • 양성자와 전자로 구성된 시스템
    • 전자의 질량 $m_e$, 양성자의 질량 $m_p$, 전하 $e$
  • 3차원에서의 쿨롱 포텐셜 \[V(r) = -\frac{k e^2}{r}= -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\] 여기서 \(k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\)
  • 해밀토니안

$$ \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2\mu}\Delta + V(x,y,z) $$ 여기서 $\Delta=(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})$는 라플라시안(Laplacian) 연산자, $\mu=\frac{m_e m_p}{m_e+m_p}\approx m_e$ 는 환산질량 (reduced mass)

  • 전자의 파동함수 $\psi_{E}(x,y,z)$가 만족시키는 방정식, 즉 슈뢰딩거 방정식 을 쓰면, 해밀토니안의 고유값 $E$ 에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다

\[E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2\mu}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) + V(x,y,z)\psi_{E}\] 또는 \[E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2\mu}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\psi_{E}\]

  • 보어의 수소원자모형을 수학적으로 설명한다
  • 스핀의 존재는 슈뢰딩거 방정식으로 설명되지 않는다


구면좌표계와 변수분리

  • 라플라시안은 다음과 같이 쓸 수 있다

\[\Delta =\Delta_{r}+\frac{1}{r^2}\Delta_{S^2} \] 여기서\[\Delta_{r}= \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}\]\[\Delta_{S^2}= \frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\]

  • 구면조화함수(spherical harmonics) 를 사용하자
  • 파동함수의 변수분리 \(\psi_{E}=R(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\) 라 쓰면,\[\frac{\hbar^2}{2\mu}[-\Delta_{r}+\frac{l(l+1)}{r^2}]-\frac{ke^2}{r})R(r)=ER(r)\]

 

양자 수와 교환자 관계식

  • 교환자 관계식

$$ [\hat{H},L^2]=[\hat{H},L_{z}]=0 $$ 여기서 \[L^2=-\hbar ^2 \left(\frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\right)\] \[L_{z}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi }\]

  • $\hat{H}$의 고유벡터를 $|n,\ell,m\rangle$로 표현할 수 있다

\[ L^2\, | n, \ell, m\rangle = {\hbar}^2 \ell(\ell+1)\, | n, \ell, m \rangle \] \[ L_z\, | n, \ell, m \rangle = \hbar m \,| n, \ell, m \rangle \]


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