판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)

개요

• 복소타원곡선의 판별식으로부터 weight이 12인 모듈라 형식 $\Delta(\tau)$이 얻어짐
• 푸리에 전개 $\Delta(\tau)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n$로부터 얻어지는 계수 $\tau(n)$를 라마누잔의 타우 함수라 하며, 이는 많은 흥미로운 수론적 성질을 가짐

판별식 함수

타원곡선의 판별식

• \(\tau\in \mathbb H\) 에 대응되는 타원곡선 \(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)\) 의 판별식은 다음과 주어짐.\[F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)\]
• 정의에 따라 \(F\)는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.
• 또한 cusp 형식이 됨.\[g_2(i\infty)=\frac{4\pi^4}{3}\], \(g_3(i\infty)=\frac{8\pi^6}{27}\) 이므로,\[F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0\]
• 이 함수의 \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개는\[g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)\] 로 주어짐.
• \(g_2, g_3\)에 대해서는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) 항목을 참조

정의

• \(\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots\) 를 discriminant 함수의 정의로 함.
• \(\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\) 로 표현가능

모듈라 성질

• 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨\[\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\]

무한곱 표현과 데데킨트 에타함수

• 데데킨트 에타함수\[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\] 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,\[\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\]

라마누잔의 타우 함수

• discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,\[\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\]

라마누잔의 추측

1. 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\tau(mn)=\tau(m)\tau(n)\)
2. 소수 $p$와 자연수 $r$에 대하여, \(\tau(p^{r + 1}) = \tau(p)\tau(p^r) - p^{11}\tau(p^{r - 1})\)
3. 소수 $p$에 대하여 \(|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}\)

• 1917년 모델 (Mordell)이 처음 두 성질을 증명
• 1974년 Deligne이 Weil 추측을 증명함으로써 해결됨

Lehmer의 추측

• 모든 \(n\in \mathbb{N}\)에 대하여 \(\tau(n)\neq 0 \)이다
• http://mathoverflow.net/questions/31058/the-vanishing-of-ramanujans-function-taun
• 미해결

메모

• Hecke’s theory of Hecke operators
• Serre’s theory of modular l-adic Galois representations
• Ramanujan-Petersson Conjectures

관련된 항목들

• 데데킨트 에타함수
• 라마누잔(1887- 1920)
• 수론적 함수(산술함수, arithmetic function)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZnNfcFpJNXR4OWM/edit
• http://oeis.org/A000594
• http://aleph.sagemath.org/?q=3a221ddb-d5ba-4c2e-9f0e-7446d8170b21&lang=sage
• http://mathworld.wolfram.com/TauFunction.html

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_tau_function
• http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan–Petersson_conjecture

리뷰, 에세이, 강의노트

• Rankin, R. A. 1986. “Fourier Coefficients of Cusp Forms.” Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100 (1): 5–29. doi:http://dx.doi.org/10.1017/S030500410006583X.

관련논문

• Lehmer, D.H. The vanishing of Ramanujan’s τ(n), Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)
• Mordell, L. J., On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions, Cambr. Phil. Soc. Proc. 19, 117-124 (1917)