다중 제타 값
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 12월 26일 (목) 12:39 판
개요
- 리만제타함수의 다변수 일반화 $\zeta(s_1, \ldots, s_k)$
- $s_i$ 가 양의 정수일 때, 오일러 합이라 불림
- 정수론의 중요한 주제로 물리에서 산란 amplitude 등의 계산에서 등장
정의
\[ \zeta(s_1, \ldots, s_k) = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \frac{1}{n_1^{s_1} \cdots n_k^{s_k}} = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \prod_{i=1}^k \frac{1}{n_i^{s_i}}, \!\]
- $s_1, \ldots, s_k$가 정수일 때, $w=s_1+\cdots+s_k$를 weight, $k$를 depth로 부른다
이중 제타
- 오일러의 공식
$$\zeta(2,1)=\zeta(3)$$ $$\zeta(1,2)=-2\zeta(3)$$
여러 가지 관계식
double shuffle
- $m,n>1$ 일 때, $$\zeta(m)\zeta(n)=\zeta(m,n)+\zeta(n,m)+\zeta(m+n)$$
- 증명
$$ \zeta(m)\zeta(n)=(\sum_{j}\frac{1}{j^{m}})(\sum_{k}\frac{1}{k^{n}})=\sum_{j>k}\frac{1}{j^mk^n}+\sum_{j=k}\frac{1}{j^mk^n}+\sum_{j<k}\frac{1}{j^mk^n} $$
오일러 분해 공식
- $r,s>1$ 일 때,
$$\zeta(r)\zeta(s)=\sum_{a=0}^{s-1}\binom{a+r-1}{a}\zeta(r+a,s-a)+\sum_{a=0}^{r-1}\binom{a+s-1}{a}\zeta(s+a,r-a)$$
기타
- 다음이 성립한다
$$ 2\zeta(n,1)=n \zeta(n+1)-\sum_{i=1}^{a-2}\zeta(n-i)\zeta(i+1) $$
- 예
$$\zeta(2,1)=\zeta(3)$$ $$\zeta(4,1)=2\zeta(5)-\zeta(2)\zeta(3)$$
메모
관련된 항목들
계산 리소스