양자 케플러-쿨롱 시스템

개요

• 양자화된 고전 케플러-쿨롱 시스템
• 수소 원자를 기술하는 해밀토니안 시스템

$so(4)$ 대칭성

• 위치 연산자 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)$와 운동량 연산자 $\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3)$
• 교환자 관계식

\[ [x_k , p_l ] = i \hbar \delta_{kl} I \label{xp} \]

연산자

• 해밀토니안

$$ H=\frac{\mathbf{p}^2}{2m}-\frac{k}{r} $$

• 각운동량 연산자 $\mathbf{L} = (L_1 ,L_2 ,L_3):=\mathbf{x}\times \mathbf{p}$

$$L_j =\epsilon_{jkl} x_k p_l$$

• 룽게-렌쯔 벡터 $\mathbf{R}=(R_1,R_2,R_3)$

$$ \mathbf{R}=\frac{1}{2}(\mathbf{x}\times \mathbf{p}-\mathbf{p}\times \mathbf{x})- mk \frac{\mathbf{x}}{r} $$

교환자 관계식

• 다음의 교환자 관계식이 성립한다
• $[H,\mathbf{L}]=[H,\mathbf{R}]=0$
• $[L_i , L_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k$
• $[L_i , R_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} R_k$
• $[R_i , R_j ] =-2M i \hbar \epsilon_{ijk}H L_k$

관련된 항목들

• 고전 케플러-쿨롱 시스템
• 수소 원자의 스펙트럼과 슈뢰딩거 방정식

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN25uT2pqbVMxaXc/edit