리우빌 방정식

개요

• 2변수함수 $\phi(x,y)$, 상수 $K$
• 다음의 미분방정식을 리우빌 방정식이라 한다

$$\Delta \phi =-2 K e^{\phi }$$ 여기서 $\Delta$는 라플라시안(Laplacian)

• 상수곡률곡면의 연구에 등장

상수곡률곡면

• 곡면의 제1기본형식이 다음과 같이 주어지는 경우

$$ g(x,y)(dx^2+dy^2),\,g(x,y)=e^{\phi(x,y)} $$

• 가우스곡률 $K$는 다음과 같이 주어진다

$$ K=-\frac{1}{2}e^{-\phi (x,y)}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}\right) $$

• 상수곡률곡면이 되는 경우, $\phi$에 대한 리우빌방정식을 얻는다

메모

• http://benasque.org/2009gph/talks_contr/105Pablo-Mira.pdf

관련된 항목들

• 상수곡률곡면과 사인-고든 방정식

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVHZzeHpodU5waTA/edit

사전 형태의 참고자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_equation

리뷰, 에세이, 강의노트

• Проект Лекториум. Part 1 | Introduction to Conformal Field Theory: Liouville Model | Leon Takhtajan | Лекториум, 2013. https://www.youtube.com/watch?v=-O555nA-hrg.

관련논문

• Levi, D., L. Martina, and P. Winternitz. ‘Structure Preserving Discretizations of the Liouville Equation and Their Numerical Tests’. arXiv:1504.01953 [math-Ph, Physics:nlin], 8 April 2015. http://arxiv.org/abs/1504.01953.
• Huang, Ying. ‘New No-Traveling Wave Solutions for the Liouville Equation by Bäcklund Transformation Method’. Nonlinear Dynamics 72, no. 1–2 (4 December 2012): 87–90. doi:10.1007/s11071-012-0692-8.
• Brito, Francisco, Maria Luiza Leite, and Vicente De Souza Neto. Liouville’s Formula Under the Viewpoint of Minimal Surfaces, n.d. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.360.4767
• Brito, Francisco, and Maria Luiza Leite. ‘Uniqueness and Globality of the Liouville Formula for Entire Solutions of $ {\partial^{2}\log \lambda \over \partial Z \partial \overline Z} + {\lambda \over 2} = 0 $’. Archiv Der Mathematik 80, no. 5 (1 May 2003): 501–6. doi:10.1007/s00013-003-0481-1.