대칭군 (symmetric group)

개요

• 원소의 개수가 n인 집합의 전단사함수들의 모임으로 군을 이룸
• \(n!\) 개의 원소가 존재함
• 대칭군의 부분군은 치환군(permutation group)이라 불림

 

presentation

• 생성원 \(\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}\) 여기서 \(\sigma_i=(i, i+1)\)
• 관계식
  • \({\sigma_i}^2 = 1\)
  • \(\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1\) (즉 \(|i-j|\geq 2\))
  • \(\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}\) 이 조건은 \((\sigma_i\sigma_{i+1})^3=1\) 로 쓸 수 있다
• 이로부터 대칭군은 유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups) 임을 알 수 있다

\[\left\langle \sigma_1,\cdots, \sigma_{n-1}\mid \sigma_1^2=\cdots=\sigma_{n-1}^2=1, (\sigma_i\sigma_{i+1})^{3}=1, i=1,\cdots, n-2\right\rangle\]

예

• 대칭군 S3

 

방정식에의 응용

• 방정식과 대칭성 : 치환군

 

 

관련된 항목들

• 사다리타기의 수학
• 대칭군의 표현론
• 대칭군의 지표(character)에 대한 프로베니우스 공식
• 대칭다항식
• 유한반사군과 콕세터 군(finite reflection groups and Coxeter groups)

메모

• http://mathoverflow.net/questions/10635/why-are-the-characters-of-the-symmetric-group-integer-valued
• \(S_6\)는 항등원이 아닌 outer automorphism을 가짐
• http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphisms_of_the_symmetric_and_alternating_groups
• Berkove, Ethan, David Cervantes Nava, Daniel Condon, and Rachel Katz. ‘Automorphisms of $S_6$ and the Colored Cubes Puzzle’. arXiv:1503.07184 [math], 24 March 2015. http://arxiv.org/abs/1503.07184.

 

역사

• 수학사 연표

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZjJmYTU3ZmQtYTcxMC00MmMxLWIyNDAtYjk1NmJhOTg0MTEy&sort=name&layout=list&num=50

 

수학용어번역

• presentation - 대한수학회 수학용어집
  • 표시, 표현

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group
• http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphisms_of_the_symmetric_and_alternating_groups
• http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_groups

 

리뷰, 에세이, 강의노트

• McCammond, Jon. “The Exceptional Symmetry.” arXiv:1412.1855 [math], December 4, 2014. http://arxiv.org/abs/1412.1855.

관련논문

• Yury A. Neretin, Algebras of conjugacy classes in symmetric groups, arXiv:1604.05755 [math.GR], April 19 2016, http://arxiv.org/abs/1604.05755
• Morotti, Lucia. ‘Sign Conjugacy Classes of the Symmetric Groups’. arXiv:1412.4990 [math], 16 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.4990.
• Symmetries of the Cube and Outer Automorphisms of S6