대칭다항식

수학노트
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개요

  • n 변수의 다항식 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 이 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 의 모든 permutation에 의해서 불변일 때, 대칭다항식이라 한다 ( 대칭군 (symmetric group) )
  • 다항식 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 이 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 중에서 두 변수를 바꾸는 permutation 즉 transposition 에 의해 부호가 바뀔 때, 이를 교대다항식(alternating polynomial)이라 한다

 

대칭다항식의 예

  • 세 변수의 경우
  • \(x_1+x_2+x_3\)
  • \(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3\)
  • \(x_1 x_2 x_3\)


주요 기저

  • algebraic independence result (Ruffini, around 1800)


(정리)

$E(-x)P(x)=x E'(-x)$

where

$P(x)=\sum_{i\geq 1} x_i^{n}x^n$

$E(x)=x^{n}-e_1 x^{n-1}+e_2 x^{n-2}+\cdots$


$H(x)=\prod_{i}\frac{1}{1-x x_i}$

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

사전 형태의 자료


 

리뷰, 에세이, 강의노트

  • Ben Blum-Smith, Samuel Coskey, The Fundamental Theorem on Symmetric Polynomials: History's First Whiff of Galois Theory, arXiv:1301.7116[math.HO], January 30 2013, http://arxiv.org/abs/1301.7116v4
  • Alain Lascoux, Symmetric functions
  • J. Dieudonné, Schur functions and group representations , Young tableaux and Schur functors in algebra and geometry, Astéerisque, 87--88 , 7--19 (1981)


관련논문

  • Briand, Emmanuel, Rosa Orellana, and Mercedes Rosas. ‘Rectangular Symmetries for Coefficients of Symmetric Functions’. arXiv:1410.8017 [math], 29 October 2014. http://arxiv.org/abs/1410.8017.

관련도서

  • Lascoux, Alain. 2003. Symmetric Functions and Combinatorial Operators on Polynomials. American Mathematical Soc.
  • I. G.Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials, Clarendon Press, second edition, Oxford, 1995.