각운동량의 양자 이론

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 6월 6일 (수) 01:53 판
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개요

 

 

 

고전역학의 각운동량
  • \(\mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}\)
  • A classical electron moving around a nucleus in a circular orbit
    • orbital angular momentum, \(L=m_evr\)
    • magnetic dipole moment, \(\mu= -evr/2\)
    • where e, m_e, v, and r are the electron´s charge, mass, velocity, and radius, respectively.
  • A classical electron of homogeneous mass and charge density rotating about a symmetry axis
    • angular momentum, \(L=(3/5)m_eR^2\Omega\)
    • magnetic dipole moment, \(\mu= -(3/10)eR^2\Omega\), where R and \Omega are the electron´s classical radius and rotating frequency
  • gyromagnetic ratio \(\gamma = \mu/L=-e/2m_e\)
    I15-62-g20.jpg
  • pictures from Gyromagnetic Ratio and Anomalous Magnetic Moment

 

 

양자화
  • (1) 궤도각운동량(Orbital Angular Momentum)
  • 위치 연산자와 운동량 연산자
    \([\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\)
    \(\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}\)

수소원자를 이루는 전자의 각운동량은 3차원 직각좌표계를 도입할 때 \(\vec{L} = \hat{x} L_x + \hat{y} L_y + \hat{z} L_z\) 와 같이 성분으로 표기할 수 있다. 불확정성의 원리에 기반하여 실험적으로는 아무리 측정을 잘 해도 이 세 성분을 정확히 측정하는 것은 불가능하다. 양자역학에서는 다음 정준교환자관계식(canonical commutation relation)이 성립한다. 이는 불확정성의 원리와 관계가 있다.

\([x , p_x ] = i \hbar\) , \([y , p_y ] = i \hbar\), \([z , p_z ] = i \hbar\)

이 관계식들은 각운동량의 각 성분들에 대한 아래의 교환자 관계식들과 동치이다.

\([L_x , L_y ] = i \hbar L_z\), \([L_y , L_z ] = i \hbar L_x\), \([L_z , L_x ] = i \hbar L_y\)

(\(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\) 관계를 이용하면 쉽게 알 수 있다)

\(x = 1, y = 2 , z = 3\) 으로 두고 \(i,j,k= 1,2,3\) 이라 하면 리대수의 구조상수에 관한 교환관계식을 얻는다.

\([L_i , L_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k\)

(2) 스핀각운동량(Spin Angular Momentum)

스핀각운동량에 관하여도 유사한 논리가 성립한다.

\([S_i , S_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} S_k\)

 

 

 

 

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