근과 계수와의 관계

개요

• 다항식의 계수와 근이 서로 만족시키는 관계
• \(n\)차의 복소계수다항식

\[P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \, \]

• 대수학의 기본정리에 의해, \(P(x)\)는 \(n\)개의 복소수 근 \(x_1,\cdots, x_n\)을 갖는다
• 근과 계수와의 관계는 다음을 말한다

\[\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ {} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}\]

• 다음과 같이 표현할 수 있다

\[\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n} \label{ele}\]

• \ref{ele}의 좌변을 \(n\)개의 변수 \(x_1,\cdots, x_n\)에 대한 \(k\)차 초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)이라 부른다

예

• 다음은 중고등학교의 수학에 등장하는 근과 계수와의 관계이다

2차식

• 다항식 \(ax^2+bx+c\)의 근이 \(\alpha, \beta\)라 하면, 다음이 성립한다

\[ \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a} \]

3차식

• 다항식 \(ax^3+bx^2+cx+d\)의 근이 \(\alpha, \beta,\gamma\)라 하면, 다음이 성립한다

\[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \]  

역사

• 16세기 비에타
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

 

 

 

 

관련된 항목들

• 추상대수학
• 근과 계수에 관한 뉴턴의 항등식

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/근과_계수의_관계
• http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta's_formulas
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
  • Viète theorem
• http://mathworld.wolfram.com/VietasFormulas.html

리뷰, 에세이, 강의노트

• Blum-Smith, Ben, and Samuel Coskey. “The Fundamental Theorem on Symmetric Polynomials: History’s First Whiff of Galois Theory.” arXiv:1301.7116 [math], January 29, 2013. http://arxiv.org/abs/1301.7116.