감마함수의 비와 라마누잔의 연분수

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 4월 28일 (토) 15:40 판
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개요
  • 감마함수의 비를 다음과 같이 연분수로 표현가능
    \(\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4} (-n+x+1)\right) \Gamma \left(\frac{1}{4} (n+x+1)\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{4} (-n+x+3)\right) \Gamma \left(\frac{1}{4} (n+x+3)\right)}=\cfrac{4}{x-\cfrac{n^2-1}{2 x-\cfrac{n^2-9}{2 x-\cfrac{n^2-25}{2 x-\cfrac{n^2-49}{2 x-\cfrac{n^2-81}{2 x-\cfrac{n^2-121}{2 x-\cfrac{n^2-169}{2 x-\cfrac{n^2-225}{2 x-\cfrac{n^2-289}{2 x-\cdots}}}}}}}}}}\)
  • \(n=0, x=1\) 인 경우, 원주율과 연분수 Brouncker 의 공식 을 얻는다
    \(\frac \pi 4 = \cfrac{1}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\cfrac{9^2}{2+\ddots}}}}}}\)

 

 

감마함수와 무한곱

 

 

역사
[1]

 

 

 

메모

[Alladi&Gordon1993] 277-278p

Partition identities and a continued fraction of Ramanujan

\(R(a,b)=\frac{f(a,a^{-1}b)}{f(aq,a^{-1}b)}-a=\frac{R^{N}(a,b)}{R^{D}(a,b)}=1+\frac{bq}{1+aq} {\ \atop+} \frac{bq^2}{1+aq^2}{\ \atop+} \frac{bq^3}{1} {\ \atop+\dots}\)

\(R(1,1)=\frac{R^{N}(1,1)}{R^{D}(1,1)}=1+{q \over 1+q + } {q^2 \over 1+q^2+} {q^3 \over 1+q^3} } \cdots=\frac{(q^2;q^4)_{\infty}^2}{(q^1;q^4)_{\infty}(q^3;q^4)_{\infty}}\)

 

 

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