리치 격자(Leech lattice)

개요

• 24차원 짝수 자기쌍대 격자의 하나로 root를 가지지 않는 유일한 격자
• 24차원의 Kissing number and sphere packings 에서 중요한 역할

구성

• \(\tilde{G}\subseteq \mathbb{F}_{2}^{24}\) 를 [24,12,8] 골레이 코드 (Golay code) 라 하자.
• quotient map \(\rho : \mathbb{Z}^{24}\to \mathbb{F}_{2}^{24}\) 으로부터 even unimodular lattice \(\Gamma\)를 얻는다.

\[\Gamma:=\frac{1}{\sqrt{2}}\rho^{-1}(\tilde{G})\]

• homomorphism \(\alpha : \Gamma \to \mathbb{F}_{2}\) 를 다음과 같이 정의하자

\[\alpha(x)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{24} x_i \pmod 2\]

• \(A=\alpha^{-1}(0)\) , \(N=\alpha^{-1}(1)\) 로 두면 \(\Gamma=A\cup N\)이다.
• 리치격자 \(\Lambda_{24}\)는 다음과 같이 얻어진다

\[\Lambda_{24}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(A\cup (\frac{\mathbf{1}}{2}+N)\right)\]

norm 4 벡터

• 196560개의 norm 4벡터를 세 가지 타입으로 나눌 수 있다.
• \((\pm1)^8 0^{16}\) 97152개
• \((\pm2)^2 0^{22}\) 1104개
• \((\pm\frac{1}{2})^{23} (\pm \frac{3}{2})^{1}\) 98304개

세타함수

• 세타함수는 다음과 같다

\[ \begin{align} \theta_{\Lambda_{24}}(\tau)&=E_{4}^3(\tau)-720\Delta(\tau) \\ &=1+196560 q^2+16773120 q^3+398034000 q^4+4629381120 q^5+\cdots \end{align} \] 여기서 \(q=e^{2\pi i \tau}\), \(E_{4}(\tau)\)는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), \(\Delta(\tau)\)는 판별식 (discriminant) 함수

메모

• \(\Lambda_{24}\oplus U\) : unimodular hyperbolic lattice
  • automorphism group - Conway's computation
• http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/talks_files/Leech.pdf
• http://www.math.lsa.umich.edu/~rlg/mathclubtalklattices21oct10d.pdf

관련된 항목들

• Kissing number and sphere packings

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• http://www.wolframalpha.com/input/?i=leech+lattice
• http://oeis.org/A008408

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice
• http://en.wikipedia.org/wiki/II25,1

관련도서

• Ebeling, Wolfgang. Lattices and Codes: A Course Partially Based on Lectures by Friedrich Hirzebruch. 3rd ed. 2013 edition. Wiesbaden: Springer Spektrum, 2012.

관련논문

• Hoehn, Gerald, and Geoffrey Mason. ‘The 290 Fixed-Point Sublattices of the Leech Lattice’. arXiv:1505.06420 [hep-Th], 24 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.06420.
• Nagaoka, Shoyu, and Sho Takemori. “Notes on Theta Series for Niemeier Lattices.” arXiv:1504.06715 [math], April 25, 2015. http://arxiv.org/abs/1504.06715.
• Nagaoka, Shoyu, and Sho Takemori. ‘On Theta Series Attached to the Leech Lattice’. arXiv:1412.7606 [math], 24 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.7606.

메타데이터

위키데이터

• ID : Q2510203

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'leech'}, {'LEMMA': 'lattice'}]