단진자의 주기와 타원적분

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 4월 30일 (금) 16:29 판
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개요
  • 단진자의 운동을 기술하는 미분방정식은 다음과 같이 주어짐
    \({d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 \)
  • 비선형 미분방정식이며, 대학수준의 역학에서는 \(\theta\)가 0에 매우 가깝다고 가정하고, \(\sin\theta\approx \theta\)의 를 이용하여 다음과 같은 미분방정식으로 대체한다
    \(d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell}\theta=0\)
    이 때 단진자의 주기는 \(2\pi\sqrt\frac{\ell}{g}\) 로 주어진다
  • 근사를 사용하지 않고 주기를 구하기 위해서는, 타원적분이 필요

 

 

 

단진자의 주기
  • 단진자의 주기는 다음과 같다
    \(T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi\) (여기서 \(k=\frac{A}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta_0}{2}}=\sin\frac{\theta_0}{2}\))

(증명)

진자의 속도는 \({d\theta\over dt} = \sqrt{{2g\over \ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}\) 로 주어진다. 따라서 주기를 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta\)

여기서 다음과 같은 치환을 사용하자.

\(A=\sqrt{1-\cos\theta_0}\)

\(\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2\)

그러면,

\(\cos\theta=1-A^2\sin^2\phi\)

\(\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}\)

\(\sin\theta \,d\theta=2A^2\cos\phi\sin\phi\)

\(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A^2\cos\phi\sin\phi}{A\cos\phi\sin\theta}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin\phi}{A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi\)

\(A=\sqrt{2}k\)로 두면,

\(T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi\)를 얻는다. ■

 

 

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