대칭군의 지표(character)에 대한 프로베니우스 공식

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개요

\(C_{\mathbf{i}}=(1^{i_1},2^{i_2},\cdots,m^{i_m})\) conjugacy class in \(S_{m}\) where \(i_1+2i_2+\cdots mi_m=m\)
프로베니우스 공식
\(\left(\sum_{l=1}^{m} x_l\right)^{i_1}\left(\sum_{l=1}^{m} x_l^2\right)^{i_2}\cdots \left(\sum_{l=1}^{m} x_l^m\right)^{i_m}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}\)
\(\lambda\) 는 크기가 m인 영 다이어그램(또는 m의 분할)
여기서 \(\chi_{\lambda}\) 는 character, \(S_{\lambda}\) 는 슈르 다항식(Schur polynomial)

예

대칭군 \(S_3\) 의 character table

\begin{array}{c|ccc} & \{1^3,2^0,3^0\} & \{1^1,2^1,3^0\} & \{1^0,2^0,3^1\} \\ \hline \{3\} & 1 & 1 & 1 \\ \{2,1\} & 2 & 0 & -1 \\ \{1,1,1\} & 1 & -1 & 1 \end{array}

\(S_{(3)}=x_1 x_2 x_3+\left(x_1+x_2+x_3\right){}^3-2 \left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3\right)\)

\(S_{(2,1)}=\left(x_1+x_2\right) \left(x_1+x_3\right) \left(x_2+x_3\right)\)

\(S_{(1,1,1)}=x_1 x_2 x_3\)

\(S_{(3)}+2S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)}=\left(x_1+x_2+x_3\right){}^3\)

\(S_{(3)}+0\cdot S_{(2,1)}-S_{(1,1,1)}=\left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)\)

\(S_{(3)}-1S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)}=x_1^3+x_2^3+x_3^3\)

역사

메모

\(\prod_{j}P_{j}(x)^{i_j}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}\)

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