대칭군의 지표(character)에 대한 프로베니우스 공식

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개요

$C_{\mathbf{i}}=(1^{i_1},2^{i_2},\cdots,m^{i_m})$ conjugacy class in $S_{m}$ where $i_1+2i_2+\cdots mi_m=m$
프로베니우스 공식 \[\left(\sum_{l=1}^{m} x_l\right)^{i_1}\left(\sum_{l=1}^{m} x_l^2\right)^{i_2}\cdots \left(\sum_{l=1}^{m} x_l^m\right)^{i_m}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}\]
$\lambda$ 는 크기가 m인 영 다이어그램(또는 m의 분할)
여기서 $\chi_{\lambda}$ 는 character, $S_{\lambda}$ 는 슈르 다항식(Schur polynomial)
다음과 같이 표현하기도 한다

\[\prod_{j}P_{j}(x)^{i_j}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}\]

$S_3$의 예

대칭군 $S_3$ 의 character table

\begin{array}{c|ccc} & \{1^3,2^0,3^0\} & \{1^1,2^1,3^0\} & \{1^0,2^0,3^1\} \\ \hline \{3\} & 1 & 1 & 1 \\ \{2,1\} & 2 & 0 & -1 \\ \{1,1,1\} & 1 & -1 & 1 \end{array}

$S_{(3)}=x_1 x_2 x_3+\left(x_1+x_2+x_3\right){}^3-2 \left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3\right)$

$S_{(2,1)}=\left(x_1+x_2\right) \left(x_1+x_3\right) \left(x_2+x_3\right)$

$S_{(1,1,1)}=x_1 x_2 x_3$

$S_{(3)}+2S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)}=\left(x_1+x_2+x_3\right){}^3$

$S_{(3)}+0\cdot S_{(2,1)}-S_{(1,1,1)}=\left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)$

$S_{(3)}-1S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)}=x_1^3+x_2^3+x_3^3$

$S_4$의 예

character table

\begin{array}{c|ccccc} & \{1^4,2^0,3^0,4^0\} & \{1^2,2^1,3^0,4^0\} & \{1^1,2^0,3^1,4^0\} & \{1^0,2^2,3^0,4^0\} & \{1^0,2^0,3^0,4^1\} \\ \hline \{4\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{3,1\} & 3 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ \{2,2\} & 2 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ \{2,1,1\} & 3 & -1 & 0 & -1 & 1 \\ \{1,1,1,1\} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \end{array}

역사

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