데데킨트 에타함수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 3월 14일 (일) 17:33 판
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개요

 

 

모듈라 성질
  • (정리)
    \(\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi {\rm{i}}}{12}}\eta(\tau)\)
    \(\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})\)
    여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택
  • 더 일반적으로, \(ad-bc=1\), \(c>0\)인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다.
    \(\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)\)
    여기서,
    \(\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}\)
    \(s(h,k)\)는 데데킨트 합

 

 

유리수점(cusp) 근처에서의 변화
  • \(h,k\)는 서로 소인 자연수
  • \(y>0\)가 매우 작을 때
    \(\sqrt{y}\exp({\frac{\pi}{12k^2y}})\eta(\frac{h}{k}+iy)\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}\)
    \(s(h,k)\)는 데데킨트 합

 

 

(정리)

\(q\to 1\) 일 때, \(q=e^{-\epsilon}\) 즉, \(y=\frac{\epsilon}{2\pi}\) 으로 두면 \(\epsilon\to 0\) 일 때,

\(q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n) \sim \exp(-\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(-\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\) 을 얻는다

 

(증명)

\(F(q)= \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n}\)

\(\log F(q)= \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} \right =\sum_{m=1,n=1}^{\infty}\frac{q^{mn}}{m}=\sum_{m=1}\frac{q^m}{m(1-q^m)}\)

\(1-q^m=(1-q)(1+q+\cdots+q^{m-1})\)  와 \(0<q<1\) 을 이용하면,

\(mq^{m-1}(1-x)<1-q^m<m(1-q)\) 이다. 따라서,

\(\frac{1}{1-q}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q^m}{m^2}< \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} <\frac{1}{1-q}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q}{m^2}\)

q가 1에 가까워질 때, 

\(\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q^m}{m^2}\to \frac{\pi^2}{6}\),  \(\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q}{m^2}\to \frac{\pi^2}{6}\)

이므로,

\(F(q)= \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6(1-q)})\sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})\)

 

■

 

 

세타함수 형태의 표현

 

 

초기하급

 

 

판별식함수

\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

 

 

special values

\(\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8} \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(\frac{i}{2})=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8} \pi ^{3/4}}\)

 

 

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