데데킨트 제타함수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2011년 10월 22일 (토) 04:16 판
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기호
  • \(K\) 수체
  • \(C_K\)  ideal class group

 

 

개요
  • 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
    \(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)
  • 예
  •  

 

 

 

 

 

부분제타함수
  • 각각의 ideal class \(A\in C_K\) 에 대하여, 부분 데데킨트 제타함수를 다음과 같이 정의
    \(\zeta_{K}(s,A)=\sum_{\mathfrak{a} \in A }\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}\)
  • 제타함수는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여지게 됨
    \(\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)\)
  • 더 일반적으로 준동형사상 \(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)에 대하여, 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음
    \(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)\)

 

 

이차수체의 데데킨트 제타함수

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}=\zeta(s)L_{d_K}(s)\)

  • 위에서 사용된 기호들에 대한 설명

\(\zeta(s)\) 는 리만제타함수와 리만가설

\(L_{d_K}(s)\)는 디리클레 L 함수(디리클레 L-함수 항목 참조)

\(\chi\)는 \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)

  • 일반적으로 \({d_K}=d_1d_2\)에 대응되는 genus character \(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\)  (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)
  • 위의 경우는 \({d_K}=1\cdot d_K\) 에 해당

 

(정리)

\(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\)  (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\))에 대하여

\(L(\chi,s) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)\)

(증명)

\(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}\)

 

 

원분체의 데데킨트 제타함수

 

 

special values

 

 

 

Klingen-Siegel 정리
  • F : totally real  \([F: \mathbb{Q}]=n\)이라 하자
    적당한 유리수 \(r(m)\in \mathbb{Q}\)에 대하여
    \(\zeta_{F}(2m)=r(m)\sqrt{|d_{F}|}\pi^{2mn}\), \(m>0\)

 

 

Zagier, Bloch, Suslin
  • \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)
    \(\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\)
    여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(K)\otimes \mathbb{Q}\)의 Q-basis
    D는 Bloch-Wigner dilogarithm 함수

 

 

 

복소이차수체의 경우
  • \(s=1\) 에서의 값
    • 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
    • 복소이차수체의 경우
      \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\), \(q \geq 7\) , \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우
      \(d_K=-q\)
      \(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)
      \(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=i\sqrt{q}\)
      \(L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}\)
      \(h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)
       
      \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\)  , \(q \geq 5\) ,  \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우
      \(d_K=-4q\)
      \(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=2i\sqrt{q}\)
      \(L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}{\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}\)
      \(h_K=-\frac{1}{4}\sum_{(a,4q)=1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)
  • \(s=2\) 에서의 값
    • 복소이차수체의 경우
      \(\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})\)
      \(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))\)
      여기서 \(D(z)\)는 Bloch-Wigner dilogarithm
  • \(s=1\) 에서의 \(L_{d_K}'(1)\)의 값
    • L-함수의 미분
      \(L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\)

 

 

 

 

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