등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 4월 16일 (목) 17:36 판
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간단한 소개

(정리) 디리클레, 1837

   자연수 a, b 가 서로 소이면 등차수열 {an+b} (n=0,1,2,…) 는 무한히 많은 소수를 포함한다

  • 4로 나눈 나머지가 1인 소수는 무한히 많다
  • 7로 나눈 나머지가 5인 소수는 무한히 많다
  •  h 와 k 가 서로 소일 때, h로 나눠서 k가 남는 소수는 무한히 많다.

 

 

증명의 재료
  • 푸리에 해석(군표현론) 과 L-function

 

 

군표현론
  • \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)는 유한생성아벨군의 기본정리에 의하여, 순환군의 곱으로 분해할 수 있음.
  • 순환군의 표현론 참조

 

 

L-함수
  • 리만제타함수의 일반화
  • 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의함.

 

 

 

\(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots<br/>\)

\(\zeta(s) =\prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}\)

\(<br/>\log \zeta(s) = \log \prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} =\sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})<br/>\)

\(\log(1+x) \approx x\)

\(<br/>\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})<br/>\approx \sum_{p \text{:prime}} \ p^{-s}=\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p^s}<br/>\)

\(\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty\)

 

 

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