린데만-바이어슈트라스 정리
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 9월 14일 (월) 04:51 판
린데만-바이어슈트라스 정리
서로 다른 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 에 대하여, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.
또는
대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다.
e는 초월수이다
더 일반적으로 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수임을 증명할 수 있다.
\(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면 린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\) 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서\(e^{\alpha}\) 는 초월수이다.
로그함수의 경우
위의 증명에서 다음을 얻는다.
0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\log \alpha\) 는 초월수이다.
사인함수의 경우
0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\sin {\alpha}\) 는 초월수이다.
\(\pi\) 는 초월수이다
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