린데만-바이어슈트라스 정리

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 9월 14일 (월) 05:14 판
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린데만-바이어슈트라스 정리

서로 다른 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 에 대하여, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.

또는

대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다.

 

 

지수함수의 경우

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다. 

(증명)

 \(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\)  는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서\(e^{\alpha}\) 는 초월수이다. 

 

 

지수함수의 실수부와 허수부

실수가 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\operatorname{Re}e^{\alpha}\)와 \(\operatorname{Im}e^{\alpha}\)는 초월수이다.

(증명)

\(\operatorname{Re}e^{\alpha}=\beta\)가 대수적수라고 가정하자. \(\beta\)가 0이 아님은 쉽게 알 수 있다. 

\(\alpha=a+bi\) 라 하면, \(2\beta=e^{a+bi}+e^{a-bi}\)이다.

\(e^{a+bi}+e^{a-bi}-2\beta e^0 =0\)

이제 린데만-바이어슈트라스 정리를 적용하면 원하는 결론을 얻는다.

 

 

 

로그함수의 경우

지수함수의 경우로부터 다음을 얻는다.

0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\log \alpha\) 는 초월수이다.

 

 

삼각함수의 경우

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\sin {\alpha}\)는 초월수이다.

(증명)

\(\{i\alpha},0 {-i\alpha}\}\) 는 서로 다른 대수적 수이므로, 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여

\(\sin {\alpha} = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\)

는 초월수이다.  (증명끝)

마찬가지로 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\cos \alpha\)는 초월수이다.

 

0이 아닌 대수적수  \(\alpha\)에 대하여 \(\tan \alpha\)는 초월수이다.

(증명)

 

 

 

 

 

 

\(\pi\) 는 초월수이다

 


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