린데만-바이어슈트라스 정리

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 9월 15일 (화) 06:27 판
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린데만-바이어슈트라스 정리

서로 다른 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 에 대하여, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.

또는

대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다.

 

 

지수함수의 경우

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다. 

(증명)

 \(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\)  는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서\(e^{\alpha}\) 는 초월수이다. 

 

 

지수함수의 실수부와 허수부

실수가 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\operatorname{Re}e^{\alpha}\)와 \(\operatorname{Im}e^{\alpha}\)는 초월수이다.

(증명)

\(\operatorname{Re}e^{\alpha}=\beta\)가 대수적수라고 가정하자. \(\beta\)가 0이 아님은 쉽게 알 수 있다. 

\(\alpha=a+bi\) 라 하면, \(2\beta=e^{a+bi}+e^{a-bi}\)이다.

\(e^{a+bi}+e^{a-bi}-2\beta e^0 =0\)

이제 린데만-바이어슈트라스 정리를 적용하면 원하는 결론을 얻는다.

 

 

 

로그함수의 경우

지수함수의 경우로부터 다음을 얻는다.

0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\log \alpha\) 는 초월수이다.

 

 

삼각함수의 경우

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\sin {\alpha}\)는 초월수이다.

(증명)

\(\{i\alpha},0 {-i\alpha}\}\) 는 서로 다른 대수적 수이므로, 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여

\(\sin {\alpha} = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\)

는 초월수이다.  (증명끝)

마찬가지로 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\cos \alpha\)는 초월수이다.

 

0이 아닌 대수적수  \(\alpha\)에 대하여 \(\tan \alpha\)는 초월수이다.

(증명)

\(\beta= \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}\)

가 대수적수라고 가정하자.

\(\beta= \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}\)

\(\beta{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}= e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}\)

\((1-i\beta){e^{i\alpha}-(1+i\beta)e^{-i\alpha}}=0\)

이는 린데만-바이어슈트라스 정리에 모순. (증명끝)

 

 

\(\pi\) 는 초월수이다

 


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