린데만-바이어슈트라스 정리
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개요
린데만-바이어슈트라스 정리==
서로 다른 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 에 대하여, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.
또는
대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 \(\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})\)의 transcendence degree가 n이다.
지수함수와 초월수==
0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다.
(증명)
\(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면 린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\) 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서\(e^{\alpha}\) 는 초월수이다. ■
지수함수의 실수부와 허수부==
실수가 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\operatorname{Re}e^{\alpha}\)와 \(\operatorname{Im}e^{\alpha}\)는 초월수이다.
(증명)
\(\operatorname{Re}e^{\alpha}=\beta\)가 대수적수라고 가정하자. \(\beta\)가 0이 아님은 쉽게 알 수 있다.
\(\alpha=a+bi\) 라 하면, \(2\beta=e^{a+bi}+e^{a-bi}\)이다.
\(e^{a+bi}+e^{a-bi}-2\beta e^0 =0\)
이제 린데만-바이어슈트라스 정리를 적용하면 원하는 결론을 얻는다. ■
로그함수의 경우==
지수함수의 경우로부터 다음을 얻는다.
0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\log \alpha\) 는 초월수이다.
삼각함수의 경우==
0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\sin {\alpha}\)는 초월수이다.
(증명)
\(\{i\alpha},0 {-i\alpha}\}\) 는 서로 다른 대수적 수이므로, 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여
\(\sin {\alpha} = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\)
는 초월수이다. (증명끝)
마찬가지로 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\cos \alpha\)는 초월수이다. ■
0이 아닌 대수적수 \(\alpha\)에 대하여 \(\tan \alpha\)는 초월수이다.
(증명)
\(\beta= \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}\)
가 대수적수라고 가정하자.
\(\beta= \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}\)
\(\beta{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}= e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}\)
\((1-i\beta){e^{i\alpha}-(1+i\beta)e^{-i\alpha}}=0\)
이는 린데만-바이어슈트라스 정리에 모순. ■
\(\pi\) 는 초월수이다==
- 파이는 초월수이다 항목 참조
역사==
관련된 다른 주제들==
사전형태의 자료==
관련도서 및 추천도서==
관련링크 및 웹페이지==
- Transcendental number theory
- Michael Filaseta, Lecture notes
- Lindemann's Theorem
- 파이는 초월수이다 항목 참조
- Transcendental number theory
- Michael Filaseta, Lecture notes
- Lindemann's Theorem