무리수와 디오판투스 근사

수학노트
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개요

디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)

는 무한히 많은 유리수 \(p/q\)에 의하여 만족된다.

  • 더 나아가 다음이 성립한다(후르비츠 정리)
    무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식
    \(|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\)
    는 무한히 많은 유리수\(p/q\) 에 의하여 만족된다. (하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.)
  • 연분수 항목 참조

리우빌 정리

  • 리우빌 정리 (1844)

    무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 와 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여, 부등식
    \( \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}\)
    의 유리수해 \(p/q\)의 개수는 유한하다
  • 리우빌 정리의 또다른 버전
    무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, 적당한 상수 \(c(\alpha)>0\)가 존재하여, 모든 유리수 \(p/q\)에 대하여 다음 부등식이 만족된다.
    \( \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{c(\alpha)}{q^{d}}\)
  • 이 정리를 사용하여, 리우빌 상수 c가 초월수임을 증명할 수 있다
    \(c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots\)



Thue-Siegel-Roth 정리

주어진 \(\epsilon>0\)에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식 \[\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}\]

의 유리수해 \(p/q\)는 유한하다

역사



메모

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